【解析】本题考查民事主体知识。根据《民法典》第二十七条，父母是未成年子女的监护人。未成年人的父母已经死亡或者没有监护能力的，由下列有监护能力的人按顺序担任监护人：(一)祖父母、外祖父母;(二)兄、姐;(三)其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。题干中小鞠是一名小学三年级的学生，属于未成年人，结合选项，小鞠出院后，可以担当其监护人是退休在家的祖父。因此，选择A选项。