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多集合反向构造问题是构造问题的延伸，同学们往往在刚接触这类题型的时候会摸不着头脑：感觉题目看起来有些像集合问题，但与集合问题的问法却不同；感觉像最不利构造问题，但在题型匹配上和普通的构造问题的特征却不符。这类多集合反向构造问题看似很复杂，但只要掌握了其特点、原理及方法，其实是可以做到快速解题的。接下来我们一起来学习一下多集合反向构造。
【题目特征】
“…都…至少…”
这类题型中一个很重要的特征就是，问题中会出现“…都…至少…”或类似意思的表达，当出现这种情况时，我们可以考虑是多集合反向构造题。
【方法分析】
我们先结合一道例题看一下：
【例】阅览室有100本杂志，小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。
A.5B.10
C.15D.30
分析题意，要使“三人共同借阅过的杂志最少”，即三人都借阅过的杂志至少的意思，出现了相应的题目特征。我们从正面思考有些困难，可以从反面尝试解题，“最少”的反面是最多，“共同借阅过”的反面是三人都没有借阅过，要使“三人共同借阅过的杂志最少”的反面也就是使三人都没有借阅过的杂志最多。所以这道题实际上我们求的正面=总量-反面，即最少情况下三人共同借阅过的杂志数=（100-最多情况下三人都没有借阅过的杂志数）。
那么问题来了，如何使三人都没有借阅过的杂志数最多？三人没有借阅过的杂志数，可以用题目条件给出的杂志总数100，减去三人分别借阅过的杂志数75、70、60本，得到25、30、40本，要使都没有借阅过的杂志数最多，也就是三人没有借阅过的杂志间没有重复的部分，所以都没有借阅过的杂志数最多为25+30+40=95，那么这道题所求即为100-95=5本。
我们也可以结合集合的概念来理解：
我们把杂志总数用方框表示，把三人没有借阅过的杂志数分别用3个圆圈表示，那么这几个圆圈间就可能存在重合的部分，也可能没有重合，我们不清楚，假设他们三人两两间都有重合（如图一），那么圆内代表没有借阅的杂志数，则在圆外同时在框内的部分代表的就是三人共同借阅过的杂志数，也就是题目所求量。
根据题意，要使所求量尽量小，也就是要使3个圆共同覆盖的面积尽量大，那么什么情况下最大呢？只有三圆没有重合的时候共同覆盖面积才是最大的（如图二）。所以题目所求的三人共同借阅过的杂志最少，即圆外框内的部分=总数100-（25+30+40）=5本【答案】A
【方法总结】
这类题目我们通过“…都…至少…”的特征判定了题目类型后，解题步骤可以分为3步：
反向：正面思考问题困难，我们从反面着手，求出所给条件的反面。
比如问的是“共同借阅过的杂志最少”，反面是“都没有借阅过的杂志数最多”，分别求出没有借阅的数量是25、30、40本。
求和：求出所有反面情况之和。
比如要使都没有借阅过的杂志数最多，即没有借阅的数量间没有重合，故没有借阅过的杂志数最多为25+30+40=95（本）。
作差：用总数减去反面情况之和。
杂志总数-反面，即100-95=5（本）
明白了方法，我们一起用一道题练习一下：
【练习】某班有70%的学生喜欢打羽毛球，75%的学生喜欢打乒乓球，问喜欢打乒乓球的学生中至少有百分之几喜欢打羽毛球？（ ）A.30%B.45%
C.60%D.70%
【答案】C
【解析】首先判别题型，问题“喜欢打乒乓球的学生中至少有百分之几喜欢打羽毛球？”即求使乒乓球和羽毛球都喜欢打的学生人数至少时，其占打乒乓球学生人数的比例。出现了“…都…至少…”的题目特征，判断为多集合反向构造问题。由于题目给出数据都是百分数，我们可设这个班级有100名学生，则喜欢打羽毛球和乒乓球的分别为70、75人，第一步，反向，求出不喜欢打羽毛球和乒乓球的分别为30、25人；第二步，求和，不喜欢打羽毛球和乒乓球的人数最多=30+25=55；第三步，作差，同时喜欢这两种球类运动的人数至少为100-55＝45；最后，根据题目问题，占喜欢打乒乓球的学生的比重为45÷75＝60%，即喜欢打乒乓球的学生中至少有60%喜欢打羽毛球。因此，本题选择C选项。
【小结】在了解了多集合反向构造的原理及方法后，同学们是否感到这类题目不再那么可怕了？其实步骤很简单，但一定要记得结合题目具体要求，灵活解题哦！
